Fithriyah Binti 'Ibad Abdurrahman

Minggu, 19 Mei 2013

Sebaran Binomial dan Multinomial


Prosess Bernaulli
Secara langsung, proses harus mempunyai sifat-sifat berikut :
1. Percobaan tersebut terdiri atas n coba-coba yang berulang
2. Setiap coba-coba menghasilkan kaluaran yang dapat diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal
3. Probabilitas sukses, yang ditujukan oleh p, tetap konstan dari coba-coa satu ke coba-coba lainnya.
4. Coba-coba yang berulang adalah bebas.

Andaikan segulas Trial Bernoulli di mana tiga barang dipilih secara acak dari sebuah proses produsi, diperikssa, dan diklasifikasikan seagai cacat atau tidak. Suatu barang cacat ditandai dengan sukses. Jumlah sukses merupakan peubah acak X yang mengambil nilai bulat dari nol sampai 3. Delapan keluaran yang mungkin dan nilai X yang bersangkutan adalah
Keluaranx
NNN0
NDN1
NND1
DNN1
NDD2
DND2
DDN2
DDD3
Karena barang-barang tersebut dipilih secara beas dari suatu proses yang akan kita asumsikan menghasilkan 25% cacat
P(NDN) = P(N) P(D) P(N) =      = 


Perhitungan yang sama menghasilkan probabilitas bagi keluaran yang mungkin lainnya. Sebaran probabilitas X adalah 
x01234
f(x)




Jumlah X sukses dimana n coba-coba Bernoulli disebut sebagai peubah acak binomial. Sebaran probablititas peubah acak diskrit ini disebut sebagai sebaran binomial, dan nilainya akan ditunjukkan oleh b(x;n,p), karena nilai terseut tergantung pada jumlah coba-coba dan probabilitas suatu sukses pada suatu coba-coba yang dierikan. Sehingga, untuk sebaran probabilitas X, jumlah cacat, 
P(X=2) = f(2) = b(2;3;1/4) = 

Sekarang mari kita generalisasikan gambaran di atas untuk menghasilkan suatu rumus bagi b(x;n,p). Dengan kata lain, kita ingin mendapatkan suatu rumus yang memberikan probabilitas x sukses di dalam n percobaan untuk sebuah percobaan binomial.
Pertama, andaikan probabilitas x sukses dan n-x gagal di dalam suatu ukuran tertentu. Karena percobaan tersebut adalah bebas, maka kita dapat mengalikan semua probabilitas yang bersesuaian dengan keluaran yang berbeda. Setiap sukses terjadi dengan probabilitas p dan setiap gagal dengan probabilitas q= 1 - p

Sehingga, probabilitas untuk urutan tersebut adalah pxqn-x. Sekarang kita coba menentukan jumlah total titik contoh di dalam percobaan yang menjadi x sukses dan n-x kegagalan. Jumlah ini sama dengan jumlah partisi dari n keluaran ke dalam dua kelompok dengan x di dalam satu kelompok dan n-x di dalam kelompok lainnya dan di tulis
. Karena partisi-partisi ini saling terpisah, kita menambahkan probabilitas semua partisi yang berbeda untuk mendapatkan rumus umum, atau mengalikan pxqn-x dengan 
Ingat !                                                Sebaran Binomial
Coba-coba Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 - p. Maka, sebatan probabilitas peubah acak binomial X, jumlah sukses di dalam n coba-coba bebas adalah
b(x;n,p) =   pxqn-x ,  x = 0,1, 2, 3 ... n                                                                                                                                                                                                      

Perhatikan bahwa bila n = dan p =1/4, sebaran probabilitas X, jumlah cacat, dapat ditulis sebagai
b(x;3,1/4) =  (1/4) (3/4) 3-x,     x = 0,1,2,3, 
bukan dalam bentuk tabel di atas
Contoh 2.1
Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap sebuah uji-kejut adalah 3/4. Carilah probabilitas dimana 2 dan 4 komponen yang selanjutnya di uji akan bertahan.
Penyelesaian 
Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p = 3/4 untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan
b(2;4,3/4) =  (3/4)2(1/4)
Teorema 1.2 
 Nilai tengah dan ragam sebaran binomial b(x;n;p) adalah 
μ = np dan σ2 = npq

Contoh 2.2
Carilah nilai tengah dan ragam dari peubah acak binomial pada contoh 2.1, kemudian gunakan teorema Chebish untuk menginterpretasikan selang μ ± 2σ.
Penyelesaian

Karena contoh 2.1 merupakan suatu percobaan binomial dengan n = 15 dan p = 0.4; menurut Teorema 5.2, kita dapatkan
μ = (15)(0.4) = 6 dan σ2 = (15)(0.4)(0.6) = 3.6
Ingat !                                                Sebaran Multinomial

 Jika suatu coba-coba yang diketahui dapat menghasilkan k keluaran E1, E2, ..., Ek dengan probabilitas p1, p2, ..... pk, maka sebaran probabilitas peubah acak X1, X2, ....., Xk yang mewakili jumlah kejadian untuk E1, E2, ..., Ek di dalam n coba-coba yang bebas adalah
f(x1,x2, ... xk; p1,p2, ... pk, n) =   P1 P2    Pk
dengan
xi = n   dan     ∑pi = 1

Sebaran multinomial memperoleh namanya dari kenyataan bahwa suku-suku ekspansi multinomial (p1 + p2 + ... + pk)n bersesuaian dengan semua nilai yang mungkin dari f(x1,x2, ..., xk; p1, p2, ... pk, n)
Contoh 2.3
Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah proabilitas mendapatkan suatu total 7 atau 11 sebanyak dua kali, pasangan angka yang sama sekali, dan sembarang gaungan lainnya sebanyak 3 kali?
Penyelesaian
Kita daftar kejadian-kejadian yang mungkin berikut ini :
E1 : Sebuah total 7 atau 11 muncul
E2 : pasangan angka yang sama muncul
E3 : bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul
Probabilitas yang bersesuaian untuk coba-coba yang diketahui tersebut adalah p1 = 2/9, p2 = 1/6, dan p3 = 11/18. Nilai-nilai ini tetap konstan untuk keenam coba-coba tersebut. Dengan menggunakan sebaran multinomial dengan x1 = 2, x2 = 1 dan x3 = 3, kita dapatkan bahwa probabilitas yang diperlukan adalah f(2, 1, 3; 2/9, 1/6, 11/18, 6) =  (2/9)2 (1/6)2 (11/18)3 =  0,1127

Tidak ada komentar:

Posting Komentar