Sebaran Binomial dan Multinomial

Prosess Bernaulli

Secara langsung, proses harus mempunyai sifat-sifat berikut :

1. Percobaan tersebut terdiri atas n coba-coba yang berulang

2. Setiap coba-coba menghasilkan kaluaran yang dapat diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal

3. Probabilitas sukses, yang ditujukan oleh p, tetap konstan dari coba-coa satu ke coba-coba lainnya.

4. Coba-coba yang berulang adalah bebas.

Andaikan segulas Trial Bernoulli di mana tiga barang dipilih secara acak dari sebuah proses produsi, diperikssa, dan diklasifikasikan seagai cacat atau tidak. Suatu barang cacat ditandai dengan sukses. Jumlah sukses merupakan peubah acak X yang mengambil nilai bulat dari nol sampai 3. Delapan keluaran yang mungkin dan nilai X yang bersangkutan adalah

Keluaran	x
NNN	0
NDN	1
NND	1
DNN	1
NDD	2
DND	2
DDN	2
DDD	3

Karena barang-barang tersebut dipilih secara beas dari suatu proses yang akan kita asumsikan menghasilkan 25% cacat

P(NDN) = P(N) P(D) P(N) =      = 

Perhitungan yang sama menghasilkan probabilitas bagi keluaran yang mungkin lainnya. Sebaran probabilitas X adalah 

x0	1	2	3	4
f(x)

Jumlah X sukses dimana n coba-coba Bernoulli disebut sebagai peubah acak binomial. Sebaran probablititas peubah acak diskrit ini disebut sebagai sebaran binomial, dan nilainya akan ditunjukkan oleh b(x;n,p), karena nilai terseut tergantung pada jumlah coba-coba dan probabilitas suatu sukses pada suatu coba-coba yang dierikan. Sehingga, untuk sebaran probabilitas X, jumlah cacat, 

P(X=2) = f(2) = b(2;3;1/4) = 

Sekarang mari kita generalisasikan gambaran di atas untuk menghasilkan suatu rumus bagi b(x;n,p). Dengan kata lain, kita ingin mendapatkan suatu rumus yang memberikan probabilitas x sukses di dalam n percobaan untuk sebuah percobaan binomial.

Pertama, andaikan probabilitas x sukses dan n-x gagal di dalam suatu ukuran tertentu. Karena percobaan tersebut adalah bebas, maka kita dapat mengalikan semua probabilitas yang bersesuaian dengan keluaran yang berbeda. Setiap sukses terjadi dengan probabilitas p dan setiap gagal dengan probabilitas q= 1 - p

Sehingga, probabilitas untuk urutan tersebut adalah p^xq^n-x. Sekarang kita coba menentukan jumlah total titik contoh di dalam percobaan yang menjadi x sukses dan n-x kegagalan. Jumlah ini sama dengan jumlah partisi dari n keluaran ke dalam dua kelompok dengan x di dalam satu kelompok dan n-x di dalam kelompok lainnya dan di tulis

. Karena partisi-partisi ini saling terpisah, kita menambahkan probabilitas semua partisi yang berbeda untuk mendapatkan rumus umum, atau mengalikan p^xq^n-x dengan 

Ingat !                                                Sebaran Binomial

Coba-coba Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 - p. Maka, sebatan probabilitas peubah acak binomial X, jumlah sukses di dalam n coba-coba bebas adalah b(x;n,p) =   pxqn-x ,  x = 0,1, 2, 3 ... n

Perhatikan bahwa bila n = dan p =1/4, sebaran probabilitas X, jumlah cacat, dapat ditulis sebagai

b(x;3,1/4) =  (1/4) ^x (3/4) ^3-x,     x = 0,1,2,3, 

bukan dalam bentuk tabel di atas

Contoh 2.1

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap sebuah uji-kejut adalah 3/4. Carilah probabilitas dimana 2 dan 4 komponen yang selanjutnya di uji akan bertahan.

Penyelesaian 

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p = 3/4 untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan

b(2;4,3/4) =  (3/4)²(1/4)² = 

Teorema 1.2 

Nilai tengah dan ragam sebaran binomial b(x;n;p) adalah  μ = np dan σ2 = npq

Contoh 2.2

Carilah nilai tengah dan ragam dari peubah acak binomial pada contoh 2.1, kemudian gunakan teorema Chebish untuk menginterpretasikan selang μ ± 2σ.

Penyelesaian

Karena contoh 2.1 merupakan suatu percobaan binomial dengan n = 15 dan p = 0.4; menurut Teorema 5.2, kita dapatkan

μ = (15)(0.4) = 6 dan σ² = (15)(0.4)(0.6) = 3.6

Ingat !                                                Sebaran Multinomial

Jika suatu coba-coba yang diketahui dapat menghasilkan k keluaran E1, E2, ..., Ek dengan probabilitas p1, p2, ..... pk, maka sebaran probabilitas peubah acak X1, X2, ....., Xk yang mewakili jumlah kejadian untuk E1, E2, ..., Ek di dalam n coba-coba yang bebas adalah f(x1,x2, ... xk; p1,p2, ... pk, n) =   P1 P2    Pk dengan ∑xi = n   dan     ∑pi = 1

Sebaran multinomial memperoleh namanya dari kenyataan bahwa suku-suku ekspansi multinomial (p₁ + p₂ + ... + p_k)ⁿ bersesuaian dengan semua nilai yang mungkin dari f(x₁,x₂, ..., x_k; p₁, p₂, ... p_k, n)

Contoh 2.3

Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah proabilitas mendapatkan suatu total 7 atau 11 sebanyak dua kali, pasangan angka yang sama sekali, dan sembarang gaungan lainnya sebanyak 3 kali?

Penyelesaian

Kita daftar kejadian-kejadian yang mungkin berikut ini :

E₁ : Sebuah total 7 atau 11 muncul

E₂ : pasangan angka yang sama muncul

E₃ : bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul

Probabilitas yang bersesuaian untuk coba-coba yang diketahui tersebut adalah p₁ = 2/9, p₂ = 1/6, dan p₃ = 11/18. Nilai-nilai ini tetap konstan untuk keenam coba-coba tersebut. Dengan menggunakan sebaran multinomial dengan x₁ = 2, x₂ = 1 dan x₃ = 3, kita dapatkan bahwa probabilitas yang diperlukan adalah f(2, 1, 3; 2/9, 1/6, 11/18, 6) =  (2/9)² (1/6)² (11/18)³ =  0,1127

Sebaran Seragam Diskrit

Definisi Sebaran Seragam Diskret. Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai x1, x2 .... xk, dengan peluang yang sama, maka sebaran seragam diskretnya di berikan oleh f(x;k) =  , x = x1, x2, ... xk

Kita telah menggunakan notasi f(x;k) bukan f(x) untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam tersebut tergantung pada parameter k.

Contoh 1

Bila sebuah lampu dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi sebuah bola lampu 40 watt, sebuah 60 watt, sebuah 75 watt, dan sebuah 100 watt. Setiap unsur ruang contoh S = {40, 60, 75, 100} terjadi dengan probabilitas . Sehingga, kita mempunyai suatu sebaran seragam dengan  f(x;4) = ,  x = 40, 60, 75, 100.

Contoh 2

Bila sebuah dadu dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} terjadi dengan probabilitas  . Sehingga kita mempunyai sebaran seragam dengan  f(x;6)=  ,  x =1, 2, 3, 4, 5, 6.

Penyajian grafik sebaran seragam dengan cara histogram selalu menghasilkan serangkaian persegi panjang dengan ketinggian yang sama. Histogram pada contoh 2 ditunjukkan dalam gambar 1.

Teorema 1. 1

Nilai tengah dan ragam dari sebaran seragam diskret f(x;k) adalah  μ=  dan σ2=  (xi - μ)2

Uwais al-Qorni

Ya Allah, aku suka banget sama sosok Uwais al-Qorni :)

Seorang ibu yang mana yang tidak mau memiliki anak seperti dia, anak yang sangat berbakti kepada ibundanya, membuat ia sangat di kenal di Langit.

Anak adalah perhiasan dunia, karena halnya ia adalah ujian. Bisa membawakan mahkota mengantarkan kedua orangtuanya ke Syurga namun juga bisa seperti bom atom yang menjeret kedua orang tuanya ke neraka. Akan seperti apakah anak kita nanti? Tergantung dengan kita sebagai orangtuanya:) Maka belajarlah dengan tekun agar bisa mendidik dan mengajarkan banyak hal untuk anak-anak kita nanti, memberinya bekal agar menjadi anak yang bagus akhlaknya. Akan seperti apa anak kita? Jawabannya ada pada diri kita sendiri:) Wallahua'alam bisshawab

Uwais al-Qorni, tidak di kenal di Bumi namun sangat terkenal di Langit. Uwais al-Qorni penghuni Langit

Baca selengkapnya yuk di sini -----> sosok Uwais al-Qorni

romantis gak yaa :)

Sahabatku

Ku tulis ini untukmu wahai sahabat,

Rasanya luar biasa bisa sekali mengenalmu

Tuhan begitu baik menghendaki kita untuk saling mengenal satu sama lain, bukan hanya saling mengenal, tapi sama-sama merasa. 

Sosokmu yang lembut meski terkadang suka banget ngomel-ngomel, aku benci untuk bilang ini kalau, "Aku suka ketika kamu ngomelin aku." Meski menyebalkan sungguh. Aku rasa itu tanda kamu begitu khawatirnya, begitu perhatiannya, dan begitu pedulinya padaku.

Maafin aku yang belum bisa jadi sahabat dan sekaligus saudara yang baik untuk kamu. Yang ketika kamu menangis di sudut ruang kelas kala itu dengan berita duka tentang kondisimu, aku hanya bisa  cengengesan berasa sok kuat meyakinkan. Saat itu aku sangat ingin menangis di pelukanmu melihat kamu yang pucat pasi, melihat bulir-bulir air matamu.  Jangan tampakkan itu padaku! Ah aku sangat suka dengan senyummu, sampai hatikah melihatmu seperti itu? Aku sangat cengeng! Kamu tau? Aku sangat cengeng. maafkan dengan senyum palsuku. Tapi aku mau kamu kuat, yang gak mudah cengeng kaya aku. Aku mau kamu jadi wanita yang tegar, gak mudah nyerah dengan kondisi buruk apapun. 

Allah gak akan pernah membiarkan hambaNya sangat terpuruk, kita harus percaya itu bukan?

Berita bahagia sebelumnya yang kudengar dari lisanmu, berita bahagia yang terucap dari seorang wanita yang sangat bahagia bila mengatakan hal itu. Yah, aku tahu pasti semua wanita akan bahagia ketika mengabarkan tentang 'itu'

Aku, sangat bahagia mendengarnya sayang, sungguh!

Tidak ada alasan buatku tidak tidak bahagia merestuimu.

Tidak perlu kamu pedulikan dengan sedikit egoku yang terkadang mulai jahil

 dengan emosional perasaan kehilangan, sifat yang belum begitu matang untuk sebuah kata dewasa

Tapi percayalah, tidak ada satupun saudara yang akan tidak rela bila saudaranya bahagia. begitupun denganku, bahagialah kamu wahai saudaraku, bersamanya seseorang yang kamu yakini akan menjadi imam yang baik di dunia hingga mengantarkanmu ke JannahNya :)

Bungamu ;)

Berbicara tentang kesempatan dan kesempitan

Nikmatnya berbagi itu kawan, luar biasa rasanya .. kamu tahu? mungkin rasanya seperti terbang melihat awan dengan sangat dekat (padahal belum pernah yang namanya naek pesawat hehe, mungkin suatu hari nanti :) mungkin).

Misalnya kita punya uang, jangan banyak- banyak dulu sampe ke pikiran bermilyar-milyar. Cukup satu juta.
Satu juta di kantong. Bedakan rasa nikmatnya ketika kita menyumbangkan 10rb ke pada yg lebih membutuhkan dari 1juta itu, dengan  memberi sebesar Rp500rb atau bahkan uang 1 juta kita itu, kita beri semuanya. Bedakah rasanya? Apakah kamu pernah merasakan  perbedaan nikmatnya? :)

Oke, sekarang begini, misalnya kita punya uang Rp20rb, gak ada uang lagi. tok Rp20rb. Kamu pengen banget yang namanya sedekah. hayo kamu lebih akan mnyedekahkan uang 1000mu atau Rp20.000mu?

Nikmatnya memberi ketika sedang sempit itu luar biasa kawan.
Pasti Allah lebih sayang kita, gk ada yang hilang dari harta yang di berikan,
hanya tersimpan di segi yang berbeda, bukan hilang, hanya tersimpan.
dan akan kembali bahkan berkali-kali lipat harganya. Percaya? ;)

Cukup action kita membuat Allah mencintai kita, cukuplah action kita sebagai tanda cinta kita kepadaNya.
Maukah menjadi seorang hamba yang beribadah krna landasan cinta?

Oh Wahai Allahku, aku ingin mencintaiMu dengan sebenar-benarnya cinta, izinkan aku tetap belajar, belajar beribadah dengan landasan cinta. Seperti seorang kekasih, melakukan apapun yang di senangi kekasihnya, bukan seperti budak yang takut kepada tuannya.

Wahai Allahku, rasanya ingin sekali berpulang dengan membawa kemenangan dari nafsu dan kejelekanku sendiri, agar kita dapat bertemu:) Berbincang dengan cinta, penuh dengan keharmonisan. :')


UntukMU Allaku :)

Hari kemarin, 28 April 2013

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa,
Terimakasih Allah, telah banyak memberikan nikmat dengan kasihNya..
Banyak rasa syukur, di hari kemarin tepatnya, bisa bersilaturhmi. Rasanya luar biasa.

Kutulis di hari ini, 29 April. Ini cerita tentang hari kemaren, dimana aktivitas pagi di awali dengan berangat ke kampus untuk menghadiri BINAR Roadshow. Setibanya disana, sudah kudapati anak-anak duduk dengan kepolosannya masing-masing, terlihat juga yang masih balita bermain berlarian dengan suaranya yang khas.

Puji syukur, Kuasanya Allah yang menciptakan manusia beranak cucu.
Wahai Rasulku, lihatlah, banyak sekali umatmu kini, bukankah enggau bangga melihat ini? :) Semoga sebagian besar dari umatmu adalah umat yang benar-benar mengikuti sunnahmu, mencintaimu dengan sepenuh hati, mengidolakan engkau, bukan yang lain :)

Oke, acara ini, membuat aku mempunyai kenalan baru lagi. Yah alhamdulillah, aku mengenal hambaMu yang lain Allahku. :)
Semoga jalan kebaikan selalu menyertaiku, menebar jejak di hati-hati mereka dengan kebaikan, agar tersampailah pesan Rasulku untuk saling nasihat menasehati..

Usai acara, aku bersama salah seorang temanku, sebut saja dia X, pergi ke Cilegon dengan menaiki bus. Tahukah kamu? X ini sangat humoris karakternya, baik hati,dan saya lihat dia cukup simpel melihat sisi dari suatu masalah, cukup dengan leluconnya yang membuat kita yang ada di dekatnya jadi terkekek-kekek :D
Ah ya, aku ingin menyampaikan satu hal, X ini sudah aku anggap sebagai saudaraku sendiri. mari menyapa X, "Hai X, sepakat kan kalau kita akan terus jadi saudara? sampe nenek dan kakek ahahhaa." Semoga limpahan rezeki selalu mengiringi untuk kamu sekeluarga ya X :)

Ceritanya kita ke Cilegon mau interview salah seorang guru yang tinggal di sana, dengan mengunjungi rumah Quri (salah seorang sahabatku yang juga sudah aku anggap sebagai saudara dekat). Bersilaturahmi ke rumahnya, berbincang-bincang dengan ibundanya yang ramah.

Ah yaa, sebelumnya, seblm nyampe cilegon, aku dan X sempat terbawa ke terminal Merak, padahal tujuan kami hanya sampai Damkar.

"sebentar lagi kita sampai." Tuturku,
"masih lama."ucap X

dengan itu, yang ada selama perjalanan, satu bus rasanya hanya ada suara aku dan dia yang serius dengan obrolan, entah obrolan tentang masa kecil masing-masing sewaktu SD yang penuh dengan petualangan atau sekedar membicarakan kepolosan teman-teman kami sewaktu kecil, ah rasanya itu seperti kembali di zaman itu.

dan tibalah ada kenehan,
"hey, laut."kami saling pandang,
seperti berbicara lewat hati berbisik, "Kita terlalu asyik bercerita, damkar sudah jauh terlewat." hahahaha

kita turun di terminal merak, luntang lantung dengan wajah sok biasa.
masuk dari satu bus ke bus lainnya, memastikan bus yang kita tumpangi benar2 melewati damkar, yang ada hanyalah, KAMI KEMBALI TURUN DARI BUS DI KARENAKAN BUS KEBANYAKAN PERGI MENUJU JAKARTA" yah :D

oke singkat cerita, sampailah bertemu dengan quri,
aku di bonceng olehnya, motornya unik sekali, beberapa tempo mengeluarkan bunyi ledakan seperti peledogan(read: petasan). Mengejutkan sekali, sepanjang perjalanan, tertawa dengan senang mewarnai wajah kami :)

segini aja deh ceritanya yaaah hehe

dapet saudara baru di kediamannya quri :)
kalau kata X silaturahmi itu membawa rezeki (*gara-gara si X dapet bekel buat makan malem :D )